Reflexion und Brechung ebener Wellen
Eine ebene und senkrecht bzw. parallel polarisierte Welle trifft unter dem Winkel α1 auf einen Medienübergang. Dieser ist charakterisiert durch die Materialparameter der unterschiedlichen Medien ε1, ε2 und κ2. In der folgenden Abbildung sind die Feldlinien des magnetischen bzw. elektrischen Feldes in Abhängigkeit der Materialparameter und des Einfallswinkels dargestellt.
α1 | 30° | |
εr1 | ||
εr2 | ||
κ2 | ||
|rs| | 0.431 | |
|ts| | 0.569 | |
H | senkrecht |
Herleitung
Für eine Feldline gilt, dass ein differentielles Wegelement dr immer parallel zur Feldlinie ist: H×dr=0 Mit der ersten Maxwell'schen Gleichung folgt: −1jωμ(∇×E)×dr=0 Wertet man die Kreuzprodukte im Zweidimensionalen mit dem Wegelement dr=dyey+dzez aus, erhält man: ∂∂zExdz+∂∂yExdy=0 Damit erhält man die Feldlinien aus den Höhenlinien einer Potentialfunktion Φ: Φ(y,z)=−2jωμEx=const. Die Feldstärke in beiden Teilräumen erhält man durch die Überlagerung der einfallenden Welle mit der reflektierten Welle oder durch die transmittierte Welle. Für senkrechte Polarisation gilt, wie in der Abbildung dargestellt: Ee=E0exe−jke⋅rEr=rsE0exe−jkr⋅rEt=tsE0exe−jkt⋅r Mit den Skalarprodukten der Wellevektoren mit einem beliebigen Aufpunkt r ke⋅r=k1(sin(α1)y+cos(α1)z) kr⋅r=k1(sin(α1)y−cos(α1)z) kt⋅r=k2(sin(α2)y+cos(α2)z) und den Wellenzahlen der Teilräume k1=ω√μ0εr1ε0 k2=ω√μ0εr2ε0(√12(√1+(κ2ωε2ε0)2+1)−j√12(√1+(κ2ωε2ε0)2−1)) erhält man: E1x=E0e−jk1(sin(α1y+cos(α1)z))(1+rsejk12cos(α1)z) E2x=tsE0e−jk2(sin(α2y+cos(α2)z)) Der Winkel α2 ergibt sich aus dem Snellius'schen Brechungsgesetz: α2=arcsin(k1k2sin(α1)) Für den Reflexions- bzw. Transmissionsfaktor gilt: rs=Z2cos(α1)−Z1cos(α2)Z2cos(α1)+Z1cos(α2) ts=2Z2cos(α1)Z2cos(α1)+Z1cos(α2) mit der Impedanz des jeweiligen Mediums Z. Die Darstellung der Feldlinien erfolgt durch Bildung des Realteils der Feldkomponenten. Die Berechnung der Feldlinien des elektrischen Feldes bei paralleler Polarisation erfolgt analog.