Reflexion und Brechung ebener Wellen
Eine ebene und senkrecht bzw. parallel polarisierte Welle trifft unter dem Winkel \(\alpha_1\) auf einen Medienübergang. Dieser ist charakterisiert durch die Materialparameter der unterschiedlichen Medien \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) und \(\kappa_2\). In der folgenden Abbildung sind die Feldlinien des magnetischen bzw. elektrischen Feldes in Abhängigkeit der Materialparameter und des Einfallswinkels dargestellt.
| \(\alpha_1\) | ° | |
| \(\varepsilon_{r1}\) | ||
| \(\varepsilon_{r2}\) | ||
| \(\kappa_{2}\) | ||
| \(|r_s|\) | ||
| \(|t_s|\) | ||
| H | senkrecht |
Herleitung
Für eine Feldline gilt, dass ein differentielles Wegelement \(\text{d}\textbf{r}\) immer parallel zur Feldlinie ist: $$\textbf{H}\times\text{d}\textbf{r}=\textbf{0}$$ Mit der ersten Maxwell'schen Gleichung folgt: $$-\frac{1}{\text{j}\,\omega\,\mu}\left(\nabla\times\textbf{E}\right)\times\text{d}\textbf{r}=\textbf{0}$$ Wertet man die Kreuzprodukte im Zweidimensionalen mit dem Wegelement \(\text{d}\textbf{r}=\text{d}y\,\textbf{e}_y+\text{d}z\,\textbf{e}_z\) aus, erhält man: $$\frac{\partial}{\partial\,z}E_{x}\,\text{d}z+\frac{\partial}{\partial y}\,E_{x}\,\text{d}y=0$$ Damit erhält man die Feldlinien aus den Höhenlinien einer Potentialfunktion \(\Phi\): $$\Phi(y,z)=-\frac{2}{\text{j}\,\omega\,\mu}E_{x}=\text{const.}$$ Die Feldstärke in beiden Teilräumen erhält man durch die Überlagerung der einfallenden Welle mit der reflektierten Welle oder durch die transmittierte Welle. Für senkrechte Polarisation gilt, wie in der Abbildung dargestellt: $$\textbf{E}_e=E_0\,\textbf{e}_x\,e^{-\text{j}\,\textbf{k}_e\cdot\textbf{r}}\qquad\textbf{E}_r=r_s\,E_0\,\textbf{e}_x\,e^{-\text{j}\,\textbf{k}_r\cdot\textbf{r}}\qquad\textbf{E}_t=t_s\,E_0\,\textbf{e}_x\,e^{-\text{j}\,\textbf{k}_t\cdot\textbf{r}}$$ Mit den Skalarprodukten der Wellevektoren mit einem beliebigen Aufpunkt \(\textbf{r}\) $$\textbf{k}_e\cdot\textbf{r}=k_1\left(\sin(\alpha_1)\,y+\cos(\alpha_1)\,z\right)$$ $$\textbf{k}_r\cdot\textbf{r}=k_1\left(\sin(\alpha_1)\,y-\cos(\alpha_1)\,z\right)$$ $$\textbf{k}_t\cdot\textbf{r}=k_2\left(\sin(\alpha_2)\,y+\cos(\alpha_2)\,z\right)$$ und den Wellenzahlen der Teilräume $$k_1=\omega\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_{r1}\,\varepsilon_0}$$ $$k_2=\omega\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_{r2}\,\varepsilon_0}\left(\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\kappa_2}{\omega\,\varepsilon_{2}\,\varepsilon_{0}}\right)^2}+1\right)}-\text{j}\,\sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\kappa_2}{\omega\,\varepsilon_{2}\,\varepsilon_{0}}\right)^2}-1\right)}\right)$$ erhält man: $$E_{1x}=E_0\,e^{-\text{j}\,k_1\left(\sin(\alpha_1\,y+\cos(\alpha_1)\,z)\right)}\left(1+r_s\,e^{\text{j}\,k_1\,2\,\cos(\alpha_1)\,z}\right)$$ $$E_{2x}=t_s\,E_0\,e^{-\text{j}\,k_2\left(\sin(\alpha_2\,y+\cos(\alpha_2)\,z)\right)}$$ Der Winkel \(\alpha_2\) ergibt sich aus dem Snellius'schen Brechungsgesetz: $$\alpha_2=\arcsin\left(\frac{k_1}{k_2}\,\sin(\alpha_1)\right)$$ Für den Reflexions- bzw. Transmissionsfaktor gilt: $$r_s=\frac{Z_2\,\cos(\alpha_1)-Z_1\,\cos(\alpha_2)}{Z_2\,\cos(\alpha_1)+Z_1\,\cos(\alpha_2)}$$ $$t_s=\frac{2\,Z_2\,\cos(\alpha_1)}{Z_2\,\cos(\alpha_1)+Z_1\,\cos(\alpha_2)}$$ mit der Impedanz des jeweiligen Mediums \(Z\). Die Darstellung der Feldlinien erfolgt durch Bildung des Realteils der Feldkomponenten. Die Berechnung der Feldlinien des elektrischen Feldes bei paralleler Polarisation erfolgt analog.